初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題：整數(shù)的整除性
1.整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì)
(1)整除的定義：對(duì)于兩個(gè)整數(shù)a、d(d≠0)，若存在一個(gè)整數(shù)p，使得成立，則稱d整除a，或a被d整除，記作d|a。
若d不能整除a，則記作da，如2|6，46。
(2)性質(zhì)
1)若b|a，則b|(-a)，且對(duì)任意的非零整數(shù)m有bm|am
2)若a|b，b|a，則|a|=|b|;
3)若b|a，c|b，則c|a
4)若b|ac，而(a，b)=1((a，b)=1表示a、b互質(zhì)，則b|c;
5)若b|ac，而b為質(zhì)數(shù)，則b|a，或b|c;
6)若c|a，c|b，則c|(ma+nb)，其中m、n為任意整數(shù)(這一性質(zhì)還可以推廣到更多項(xiàng)的和)
例1(1987年北京初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)x，y，z均為整數(shù)，若11|(7x+2y-5z)，求證：11|(3x-7y+12z)。
證明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)
而11|11(3x-2y+3z),
且11|(7x+2y-5z),
∴11|4(3x-7y+12z)
又(11,4)=1
∴11|(3x-7y+12z).
2.整除性問(wèn)題的證明方法
(1)利用數(shù)的整除性特征(見(jiàn)第二講)
(2)利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)
�、偃我鈨蓚�(gè)連續(xù)整數(shù)之積必定是一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之一積，因此一定可被2整除。
②任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之中至少有一個(gè)偶數(shù)且至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意個(gè)整數(shù)連續(xù)之積。
例4一整數(shù)a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.
證明∵a2+23=(a2-1)+24，只需證a2-1可以被24整除即可.
∵2.∴a為奇數(shù).設(shè)a=2k+1(k為整數(shù)),
則a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).
∵k、k+1為二個(gè)連續(xù)整數(shù)，故k(k+1)必能被2整除，
∴8|4k(k+1)，即8|(a2-1).
又∵(a-1)，a，(a+1)為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，其積必被3整除，即3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1)，
∵3a，∴3|(a2-1).3與8互質(zhì),∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.
(3)利用整數(shù)的奇偶性
下面我們應(yīng)用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關(guān)知識(shí)來(lái)解幾個(gè)整數(shù)問(wèn)題.
例7(美國(guó)第4屆數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少?
解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.
若n+100能被n+10整除,則900也能被n+10整除.而且,當(dāng)n+10的值為最大時(shí),相應(yīng)地n的值為最大.因?yàn)?00的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.
1.選擇題
(1)(1987年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)若數(shù)n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，則不是n的因數(shù)的最小質(zhì)數(shù)是().
(A)19(B)17(C)13(D)非上述答案
(2)在整數(shù)0、1、2…、8、9中質(zhì)數(shù)有x個(gè)，偶數(shù)有y個(gè)，完全平方數(shù)有z個(gè)，則x+y+z等于().
(A)14(B)13(C)12(D)11(E)10
(3)可除盡311+518的最小整數(shù)是().
(A)2(B)3(C)5(D)311+518(E)以上都不是
2.填空題
(1)(1973年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)把100000表示為兩個(gè)整數(shù)的乘積，使其中沒(méi)有一個(gè)是10的整倍數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_________.
(2)一個(gè)自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù),與3的差是6的倍數(shù),這樣的自然數(shù)中最小的是_________.
(3)(1989年全國(guó)初中聯(lián)賽題)在十進(jìn)制中,各位數(shù)碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數(shù)是________.
- 院校動(dòng)態(tài)
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- 分?jǐn)?shù)線
為深入貫徹黨的二十大精神，落實(shí)教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)部署，構(gòu)建職普融通、產(chǎn)教融合的職教體系，弘揚(yáng)勞動(dòng)光榮、技能寶貴、創(chuàng)造偉大的時(shí)代風(fēng)尚，2026年5月，緊扣全國(guó)職教活動(dòng)周“一技在手，一生無(wú)憂”主題與福建省“強(qiáng)鏈·興城·圓夢(mèng)”分主題，福建建筑學(xué)校舉辦職業(yè)教育活動(dòng)周系列特色活動(dòng)。
閩北高級(jí)技工學(xué)校茲定于2026年7月份開(kāi)展電工、焊工、數(shù)控車工職業(yè)技能等級(jí)評(píng)價(jià)工作，現(xiàn)將有關(guān)事項(xiàng)公告如下：
為做好校園營(yíng)養(yǎng)健康宣傳，提高青少年對(duì)合理膳食的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)師生科學(xué)飲食意識(shí)，5月14日，南平技師學(xué)院在2號(hào)樓階梯教室開(kāi)展食品營(yíng)養(yǎng)周知識(shí)講座。福建省營(yíng)養(yǎng)協(xié)會(huì)會(huì)長(zhǎng)、注冊(cè)營(yíng)養(yǎng)師劉彥雯擔(dān)任主講人。
為搭建教學(xué)經(jīng)驗(yàn)交流與成果展示平臺(tái)，集中呈現(xiàn)近年來(lái)我院教師在教學(xué)實(shí)踐、課程改革及技能培養(yǎng)等領(lǐng)域取得的研究成果，進(jìn)一步激發(fā)全體教職工的教科研熱情，南平技師學(xué)院教研室組織開(kāi)展了2023—2025年度教學(xué)論文評(píng)審匯編工作。歷時(shí)半年，現(xiàn)完成論文評(píng)審?fù)苾?yōu)，并已正式刊印成冊(cè)推廣交流。
5月18日，中國(guó)職工教育和職業(yè)培訓(xùn)協(xié)會(huì)會(huì)長(zhǎng)（中央紀(jì)委駐人社部紀(jì)檢組原組長(zhǎng)）耿文清、監(jiān)事長(zhǎng)胡馳、副會(huì)長(zhǎng)李京梅，衢州市技師學(xué)院黨委書(shū)記鄭曉珍一行蒞臨南平技師學(xué)院調(diào)研指導(dǎo)。南平市人民政府黨組成員、副市長(zhǎng)楊新強(qiáng)，市人力資源和社會(huì)保障局黨組成員、副局長(zhǎng)吳邦建，學(xué)院黨委書(shū)記葛毅，院長(zhǎng)吳瑞通等領(lǐng)導(dǎo)陪同考察。
南平技師學(xué)院先進(jìn)制造系的三位同學(xué)憑借扎實(shí)的專業(yè)基礎(chǔ)和過(guò)硬的技能水平，成功被天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)2026年本科專業(yè)錄取。
5月25日，福建省船舶工業(yè)集團(tuán)有限公司人力部高級(jí)經(jīng)理黃孝燦一行來(lái)我院參觀交流，學(xué)院黨委書(shū)記葛毅、院長(zhǎng)吳瑞通、副院長(zhǎng)翁建星及相關(guān)處室負(fù)責(zé)人陪同參觀。
為深入推進(jìn)平安校園建設(shè)，普及應(yīng)急救護(hù)知識(shí)，提升教職工面對(duì)突發(fā)事件的自救互救能力，5月27日，南平技師學(xué)院聯(lián)合延平區(qū)紅十字會(huì)成功舉辦了一場(chǎng)針對(duì)性強(qiáng)、實(shí)操性高的應(yīng)急救護(hù)技能培訓(xùn)與取證考核。學(xué)院各系部、行政及后勤安保等關(guān)鍵崗位的二十余位教職工積極參與了此次培訓(xùn)。
為切實(shí)把校園安全工作落到實(shí)處，全面提升寄宿生的應(yīng)急避險(xiǎn)能力，3月12日晚，我校聚焦夜間住宿安全，組織開(kāi)展了一場(chǎng)實(shí)戰(zhàn)化消防逃生演練。校領(lǐng)導(dǎo)、班主任、生管老師及保安人員全程跟進(jìn)，與全體寄宿生共同完成了此次演練任務(wù)。
為進(jìn)一步加強(qiáng)寄宿生管理工作，規(guī)范住宿行為，強(qiáng)化安全意識(shí)，提升校園后勤服務(wù)保障水平，3月12日晚，我校全體寄宿生大會(huì)隆重召開(kāi)。校領(lǐng)導(dǎo)、班主任、生管老師及全體寄宿生齊聚一堂，共話成長(zhǎng)，共筑安全。
福建省閩清職業(yè)中專學(xué)校創(chuàng)辦于1997年，前身為閩清縣渡口初級(jí)中學(xué)，1997年9月渡口初級(jí)中學(xué)與閩清白樟高級(jí)職業(yè)技術(shù)學(xué)校合并成為閩清職業(yè)中學(xué)，2001年5月，經(jīng)閩清縣政府批準(zhǔn)，閩清縣職業(yè)中學(xué)與原福建省閩清職業(yè)中專學(xué)校重組成立福建省閩清職業(yè)中專學(xué)校。2007年，被福建省人民政府認(rèn)定為省級(jí)重點(diǎn)中等職業(yè)學(xué)校。2007年，閩清縣職業(yè)教育中心在學(xué)校掛牌，成為閩清縣職業(yè)教育中心主體辦學(xué)單位。2018年12月，閩清縣人民政府將學(xué)校委托福建船政交通職業(yè)學(xué)院管理， 2020年12月被福建省教育廳認(rèn)定為“第四批省級(jí)規(guī)范化中等職
閩侯縣美術(shù)中等職業(yè)學(xué)校2026年秋季招生計(jì)劃
閩侯縣職業(yè)中專學(xué)校創(chuàng)辦于1978年，是福州市重點(diǎn)職業(yè)中專學(xué)校、福建省達(dá)標(biāo)中等職業(yè)學(xué)校及規(guī)范化職業(yè)中專學(xué)校。新校區(qū)坐落于閩侯縣荊溪鎮(zhèn)關(guān)口西山村129號(hào)，占地174畝，建筑面積66666.41平方米，現(xiàn)有教職員工197人。學(xué)�，F(xiàn)有71個(gè)教學(xué)班，在校生共計(jì)2720人。
自2016年起，我校持續(xù)與省內(nèi)優(yōu)質(zhì)高職院校開(kāi)展“3+2”五年制聯(lián)合辦學(xué)，積極響應(yīng)國(guó)家職業(yè)教育提質(zhì)培優(yōu)、中高職一體化發(fā)展號(hào)召，推動(dòng)中職與高職教育有效銜接，助力學(xué)生一站式完成學(xué)業(yè)、提升就業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力。
坐落在福州黃金地段交通路上的福建省福州文教職業(yè)中專學(xué)校，是一所市屬公辦的全日制學(xué)校、國(guó)家級(jí)重點(diǎn)職業(yè)中專學(xué)校。
學(xué)校創(chuàng)建于1985年，是一所享譽(yù)八閩的優(yōu)質(zhì)中職學(xué)校。福州市首批國(guó)家級(jí)重點(diǎn)校、國(guó)家級(jí)示范校、省級(jí)示范性現(xiàn)代中等職業(yè)院校。地處風(fēng)景秀麗的閩江南岸，緊鄰東部辦公區(qū)，校園占地面積103畝，建筑面積5萬(wàn)多平方米，環(huán)境優(yōu)美，是中國(guó)建設(shè)教育協(xié)會(huì)常務(wù)理事單位，教育部首批全國(guó)中職學(xué)校教學(xué)診斷與改進(jìn)工作試點(diǎn)學(xué)校。曾榮獲全國(guó)職業(yè)教育先進(jìn)單位、全國(guó)教育系統(tǒng)先進(jìn)集體、全國(guó)中等職業(yè)學(xué)校德育工作先進(jìn)集體、福建省文明校園等榮譽(yù)。
選對(duì)專業(yè)，能圓大學(xué)夢(mèng)、走穩(wěn)就業(yè)路。福州建筑工程職業(yè)中專學(xué)校2026年三年制中職招生計(jì)劃正式啟動(dòng)，多個(gè)熱門專業(yè)面向全市招收應(yīng)屆初中畢業(yè)生。畢業(yè)后可通過(guò)高職分類考試升入本科或?qū)？圃盒�，也可選擇直接就業(yè)。
福州機(jī)電工程職業(yè)技術(shù)學(xué)校2026年招生計(jì)劃
福建省福州財(cái)政金融職業(yè)中專學(xué)校(福州第十三中學(xué))創(chuàng)辦于1954年，為福州市教育局直屬公辦校，系首批國(guó)家級(jí)重點(diǎn)中等職業(yè)學(xué)校。學(xué)校坐落于倉(cāng)山區(qū)閩江南畔，毗鄰江南水都社區(qū)及倉(cāng)山萬(wàn)達(dá)、樂(lè)提港(原愛(ài)琴海)商圈，交通便捷。
福建財(cái)茂工業(yè)技術(shù)學(xué)校2026年招生計(jì)劃
福建省福清龍華職業(yè)中專學(xué)校是一所僑建公辦的國(guó)家級(jí)重點(diǎn)職業(yè)中專學(xué)校。近年來(lái)，學(xué)校以爭(zhēng)創(chuàng)"國(guó)家級(jí)中等職業(yè)教育改革示范學(xué)校"為目標(biāo)，堅(jiān)持"以僑立校、以德治校、以質(zhì)興校"，緊緊圍繞地方經(jīng)濟(jì)特點(diǎn)，優(yōu)化專業(yè)結(jié)構(gòu)和校企合作辦學(xué)模式，創(chuàng)新德育工作，加強(qiáng)師資隊(duì)伍建設(shè)，抓好畢業(yè)生就業(yè)服務(wù)工作，初步形成了"辦學(xué)集團(tuán)化，專業(yè)集群化，目標(biāo)崗位化，培養(yǎng)職場(chǎng)化"的發(fā)展模式。學(xué)�，F(xiàn)有在校生4000多人，2015年面向全省招生。
1. 長(zhǎng)樂(lè)職業(yè)中專學(xué)校是公立的學(xué)校嗎?學(xué)校的辦學(xué)效益如何? 長(zhǎng)樂(lè)職業(yè)中專學(xué)校是長(zhǎng)樂(lè)區(qū)政府精心打造的全日制公辦職業(yè)中專學(xué)校，是國(guó)家中等職業(yè)教育改革發(fā)展示范學(xué)校、國(guó)家級(jí)重點(diǎn)中等職業(yè)學(xué)校、福建省示范性現(xiàn)代職業(yè)學(xué)校、福建省“雙高�！绷㈨�(xiàng)建設(shè)學(xué)校。近年來(lái)，學(xué)校全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，堅(jiān)持“質(zhì)量立校、人才強(qiáng)�！钡陌l(fā)展戰(zhàn)略，學(xué)�；A(chǔ)能力、育人質(zhì)量、服務(wù)能力、示范作用、社會(huì)效應(yīng)顯著提升，實(shí)現(xiàn)了辦學(xué)、治校、育人的跨越式發(fā)展，在福建乃至全國(guó)產(chǎn)生了較大影響。
長(zhǎng)樂(lè)四中2025年高一招生問(wèn)答
新學(xué)期，新的校園環(huán)境 在一片新的氣象中 我校的招生計(jì)劃即將開(kāi)始 為了讓您更好地了解我們的招生情況 我們將會(huì)為您詳細(xì)介紹本次的招生情況 我們期待你的加入
明溪縣職業(yè)中學(xué)2025年學(xué)校答疑
1.問(wèn)：閩侯二中2025年高一招生計(jì)劃如何? 答：招收16個(gè)教學(xué)班。其中：1-15班每班54人，共招810人(含體育特長(zhǎng)生12人);其中：正取生243人，定向生567人;另外招收1個(gè)美術(shù)特色班，人數(shù)30人，獨(dú)立成班。
龍巖華僑職業(yè)中專學(xué)校2025年招生答疑
福建省新華技術(shù)學(xué)校2025年招生問(wèn)答
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目前，福建已有8個(gè)地市公布了 2026年中招政策 今天為大家匯總一下今年政策新變化 快來(lái)看看吧↓↓
2026年泉州市初中畢業(yè)升學(xué)考試(以下簡(jiǎn)稱“中考”)將于6月21日—23日舉行。全市初三報(bào)名中考考生總數(shù)12.35萬(wàn)人，其中中心市區(qū)報(bào)考考生1.87萬(wàn)人。泉州中考共設(shè)13個(gè)考區(qū)118個(gè)考點(diǎn)，具體考點(diǎn)詳見(jiàn)表格。
親愛(ài)的考生和家長(zhǎng)朋友: 大家好! 盛夏逐夢(mèng)，韶華啟航。2026年我省中考將于6月21日至23日舉行。為營(yíng)造公平公正的考試環(huán)境，確�？荚嚢踩椒�(wěn)有序進(jìn)行，特作如下提示：
剛剛，2026年福州市中考中招政策解讀新聞發(fā)布會(huì)召開(kāi)，記者會(huì)上獲悉今年福州中考中招政策將有五個(gè)調(diào)整
近日，吉林、江蘇等地宣布，自2027年起，將地理、生物學(xué)科調(diào)整為考查科目，不再計(jì)入中考總分，福州是否會(huì)迎來(lái)類似改革？
隨著部分地區(qū)學(xué)齡人口變動(dòng)與教育資源配置的調(diào)整，關(guān)于是否應(yīng)當(dāng)取消中考的討論持續(xù)升溫：
2026年福州市初中畢業(yè)升學(xué)體育與健康考試工作方案
2026年我省高職分類招考中職生職業(yè)技能測(cè)試、特殊群體類考生文化素質(zhì)考試將于3月中下旬舉行（具體安排附后）。為確保測(cè)試工作順利有序進(jìn)行，現(xiàn)將有關(guān)事項(xiàng)提醒如下：
廈門市2026年中招體育考試工作方案
寧德市教育局關(guān)于做好2026年中考報(bào)名工作的通知
2026年福建中考進(jìn)入倒計(jì)時(shí)，考生及家長(zhǎng)普遍關(guān)注：全省各設(shè)區(qū)市中考分?jǐn)?shù)線是否存在顯著差異？不同區(qū)域考生升學(xué)難度如何？本文基于2024-2025年官方數(shù)據(jù)及教育政策，梳理福建九地市普高錄取控制線差異，為備考家庭提供科學(xué)參考。
福建省中考錄取政策因地域教育資源、人口基數(shù)等因素呈現(xiàn)差異化特征。以莆田、福州兩地為例，2025年中考錄取分?jǐn)?shù)線差異顯著，折射出教育資源配置與招生政策的深層邏輯。本文基于兩地最新數(shù)據(jù)，為2026屆考生及家長(zhǎng)提供科學(xué)參考。
隨著福建省職業(yè)教育體系的不斷完善，五年制高職已成為銜接中等教育與高等教育的關(guān)鍵路徑。本文基于近三年政策數(shù)據(jù)，為2026屆考生及家長(zhǎng)梳理錄取規(guī)則與趨勢(shì)，助力科學(xué)規(guī)劃升學(xué)路徑。
隨著福建省職業(yè)教育改革持續(xù)深化，中本貫通“3+4”模式憑借其“中職+本科”無(wú)縫銜接的優(yōu)勢(shì)，成為眾多學(xué)生及家長(zhǎng)關(guān)注的升學(xué)路徑。2026年錄取分?jǐn)?shù)線雖尚未公布，但結(jié)合2024-2025年政策趨勢(shì)與錄取數(shù)據(jù)，可梳理出關(guān)鍵預(yù)測(cè)方向與備考策略。
2024年泉州市普通高中最低錄取控制線為 482分。這一分?jǐn)?shù)線是全市中考考生數(shù)前一定比例（通常為70%左右）的最低成績(jī)劃定的，作為考生報(bào)考普通高中的最低門檻。
廈門市的綜合高中班是在中職學(xué)校開(kāi)設(shè)的普高課程班級(jí)，其錄取分?jǐn)?shù)線通常低于普通高中，但高于部分民辦普高。根據(jù)2024年的錄取情況，廈門三所公辦中職學(xué)校的綜合高中班最低投檔分如下：
2024年廈門市中考定向生最低錄取分?jǐn)?shù)需根據(jù)招生學(xué)校普通生最低投檔線確定，最多可降至該線下25分，但實(shí)際降幅因校而異。具體分?jǐn)?shù)線如下：
2024年廈門市中考普高切線及普通高中最低投檔線情況如下：
福州五年制高職學(xué)校的最低錄取分?jǐn)?shù)線通常根據(jù)福州市普高（含綜合高中班）最低投檔控制線下調(diào)一定分?jǐn)?shù)劃定。例如，2024年福州五年制高職學(xué)校的最低錄取分?jǐn)?shù)線為441.5分，這一分?jǐn)?shù)線是根據(jù)福州市普高（含綜合高中班）最低投檔控制線501.5分下調(diào)60分劃定的。
福州市3+4中本貫通有哪些學(xué)校？錄取分?jǐn)?shù)線多少？
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