二次函數(shù)

A級　基礎題

1.(2013年浙江麗水)若二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點P(-2,4)，則該圖象必經(jīng)過點(　　)

A.(2,4)　 B.(-2，-4)　 C.(-4,2) D.(4，-2)

2.拋物線y=x2+bx+c的圖象先向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為y=(x-1)2-4，則b，c的值為(　　)

A.b=2，c=-6 B.b=2，c=0 C.b=-6，c=8　 D.b=-6，c=2

3.(2013年浙江寧波)如圖3­4­11，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，對稱軸為直線x=1，圖象經(jīng)過(3,0)，下列結論中，正確的一項是(　　)

A.abc<0　　 B.2a+b<0　 C.a-b+c<0　 D.4ac-b2<0

4.(2013年山東聊城)二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖3­4­12，那么一次函數(shù)y=ax+b的圖象大致是(　　)

5.(2013年四川內(nèi)江)若拋物線y=x2-2x+c與y軸的交點為(0，-3)，則下列說法不正確的是(　　)

A.拋物線開口向上　　　　　　 B.拋物線的對稱軸是x=1

C.當x=1時，y的最大值為-4　　 D.拋物線與x軸的交點為(-1,0)，(3,0)

6.(2013年江蘇徐州)二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足下表：

x … -3 -2 -1 0 1 …

y … -3 -2 -3 -6 -11 …

則該函數(shù)圖象的頂點坐標為(　　)

A.(-3，-3) B.(-2，-2) C.(-1，-3) D.(0，-6)

7.(2013年湖北黃石)若關于x的函數(shù)y=kx2+2x-1與x軸僅有一個公共點，則實數(shù)k的值為__________.

8.(2013年北京)請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點(0,1)的拋物線的解析式______________.

9.(2013年浙江湖州)已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(3,0)，B(-1,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)求拋物線的頂點坐標.

B級　中等題

10.(2013年江蘇蘇州)已知二次函數(shù)y=x2-3x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為(1,0)，則關于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數(shù)根是(　　)

A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3

11.(2013年四川綿陽)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖3­4­13，給出下列結論：①2a+b>0;②b>a>c;③若-1

圖3­4­13

12.(2013年廣東)已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1.

(1)當二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O(0,0)時，求二次函數(shù)的解析式;

(2)如圖3­4­14，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C，D兩點的坐標;

(3)在(2)的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短?若P點存在，求出P點的坐標;若P點不存在，請說明理由.

C級　拔尖題

13.(2013年黑龍江綏化)如圖3­4­15，已知拋物線y=1a(x-2)(x+a)(a>0)與x軸交于點B，C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側.

(1)若拋物線過點M(-2，-2)，求實數(shù)a的值;

(2)在(1)的條件下，解答下列問題;

①求出△BCE的面積;

②在拋物線的對稱軸上找一點H，使CH+EH的值最小，直接寫出點H的坐標.

14.(2012年廣東肇慶)已知二次函數(shù)y=mx2+nx+p圖象的頂點橫坐標是2，與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0

(1)求證：n+4m=0;

(2)求m，n的值;

(3)當p>0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個交點時，求二次函數(shù)的最大值.

15.(2013年廣東湛江)如圖3­4­16，在平面直角坐標系中，頂點為(3,4)的拋物線交y軸于A點，交x軸與B，C兩點(點B在點C的左側)，已知A點坐標為(0，-5).

(1)求此拋物線的解析式;

(2)過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C的位置關系，并給出證明;

(3)在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形.若存在，求點P的坐標;若不存在，請說明理由.

二次函數(shù)

1.A

2.B　解析：利用反推法解答， 函數(shù)y=(x-1)2-4的頂點坐標為(1，-4)，其向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到函數(shù)y=x2+bx+c，又∵1-2=-1，-4+3=-1，∴平移前的函數(shù)頂點坐標為(-1，-1)，函數(shù)解析式為y=(x+1)2-1，即y=x2+2x，∴b=2，c=0.

3.D　4.C　5.C　6.B

7.k=0或k=-1　8.y=x2+1(答案不唯一)

9.解：(1)∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(3,0)，B(-1,0)，

∴拋物線的解析式為y=-(x-3)(x+1)，

即y=-x2+2x+3.

(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，

∴拋物線的頂點坐標為(1,4).

10.B　11.①③④

12.解：(1)將點O(0,0)代入，解得m=±1，

二次函數(shù)關系式為y=x2+2x或y=x2-2x.

(2)當m=2時，y=x2-4x+3=(x-2)2-1，

∴D(2，-1).當x=0時，y=3，∴C(0,3).

(3)存在.接連接C，D交x軸于點P，則點P為所求.

由C(0,3)，D(2，-1)求得直線CD為y=-2x+3.

當y=0時，x=32，∴P32，0.

13.解：(1)將M(-2，-2)代入拋物線解析式，得

-2=1a(-2-2)(-2+a)，

解得a=4.

(2)①由(1)，得y=14(x-2)(x+4)，

當y=0時，得0=14(x-2)(x+4)，

解得x1=2，x2=-4.

∵點B在點C的左側，∴B(-4,0)，C(2,0).

當x=0時，得y=-2，即E(0，-2).

∴S△BCE=12×6×2=6.

②由拋物線解析式y(tǒng)=14(x-2)(x+4)，得對稱軸為直線x=-1，

根據(jù)C與B關于拋物線對稱軸x=-1對稱，連接BE，與對稱軸交于點H，即為所求.

設直線BE的解析式為y=kx+b，

將B(-4,0)與E(0，-2)代入，得-4k+b=0，b=-2，

解得k=-12，b=-2.∴直線BE的解析式為y=-12x-2.

將x=-1代入，得y=12-2=-32，

則點H-1，-32.

14.(1)證明：∵二次函數(shù)y=mx2+nx+p圖象的頂點橫坐標是2，

∴拋物線的對稱軸為x=2，即-n2m=2，

化簡，得n+4m=0.

(2)解：∵二次函數(shù)y=mx2+nx+p與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0

∴OA=-x1，OB=x2，x1+x2=-nm，x1•x2=pm.

令x=0，得y=p，∴C(0，p).∴OC=|p|.

由三角函數(shù)定義，得tan∠CAO=OCOA=-|p|x1，tan∠CBO=OCOB=|p|x2.

∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即-|p|x1-|p|x2=1.

化簡，得x1+x2x1•x2=-1|p|.

將x1+x2=-nm，x1•x2=pm代入，得-nmpm=-1|p|化簡，得⇒n=p|p|=±1.

由(1)知n+4m=0，

∴當n=1時，m=-14;當n=-1時，m=14.

∴m，n的值為：m=14，n=-1(此時拋物線開口向上)或m=-14，n=1(此時拋物線開口向下).

(3)解：由(2)知，當p>0時，n=1，m=-14，

∴拋物線解析式為：y=-14x2+x+p.

聯(lián)立拋物線y=-14x2+x+p與直線y=x+3解析式得到-14x2+x+p=x+3，

化簡，得x2-4(p-3)=0.

∵二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個交點，

∴一元二次方程根的判別式等于0，

即Δ=02+16(p-3)=0，解得p=3.

∴y=-14x2+x+3=-14(x-2)2+4.

當x=2時，二次函數(shù)有最大值，最大值為4.

15.解：(1)設此拋物線的解析式為y=a(x-3)2+4，

此拋物線過點A(0，-5)，

∴-5=a(0-3)2+4，∴a=-1.

∴拋物線的解析式為y=-(x-3)2+4，

即y=-x2+6x-5.

(2)拋物線的對稱軸與⊙C相離.

證明：令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，

∴B(1,0)，C(5,0).

設切點為E，連接CE，

由題意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.

∴ABBC=OBCE，即12+524=1CE，

解得CE=426.

∵以點C為圓心的圓與直線BD相切，⊙C的半徑為r=d=426.

又點C到拋物線對稱軸的距離為5-3=2，而2>426.

則此時拋物線的對稱軸與⊙C相離.

(3)假設存在滿足條件的點P(xp，yp)，

∵A(0，-5)，C(5,0)，

∴AC2=50，

AP2=(xp-0)2+(yp+5)2=x2p+y2p+10yp+25，CP2=(xp-5)2+(yp-0)2=x2p+y2p-10xp+25.

①當∠A=90°時，在Rt△CAP中，

由勾股定理，得AC2+AP2=CP2，

∴50+x2p+y2p+10yp+25=x2p+y2p-10xp+25，

整理，得xp+yp+5=0.

∵點P(xp，yp)在拋物線y=-x2+6x-5上，

∴yp=-x2p+6xp-5.

∴xp+(-x2p+6xp-5)+5=0，

解得xp=7或xp=0，∴yp=-12或yp=-5.

∴點P為(7，-12)或(0，-5)(舍去).

②當∠C=90°時，在Rt△ACP中，

由勾股定理，得AC2+CP2=AP2，

∴50+x2p+y2p-10xp+25=x2p+y2p+10yp+25，

整理，得xp+yp-5=0.

∵點P(xp，yp)在拋物線y=-x2+6x-5上，

∴yp=-x2p+6xp-5，

∴xp+(-x2p+6xp-5)-5=0，

解得xp=2或xp=5，∴yp=3或yp=0.

∴點P為(2,3)或(5,0)(舍去)

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為(7，-12)或(2,3).第二部分　空間與圖形