附錄 1：題型示例 （容易題）1． 0 2016 =【B】 A．0 B．1 C．-2015 D．2015
（容易題）2．某市地下調(diào)蓄設(shè)施的蓄水能力達(dá)到 140000 立方米．將 140000 用科學(xué)記數(shù)法表示 應(yīng)為【B】 A．14×104 B．1．4×105 C．1．4×106 D．0．14×106 （容易題）3．A,B 是數(shù)軸上兩點(diǎn),線段 AB 上的點(diǎn)表示的數(shù)中,有互為相反數(shù)的是【B】
A． B．
C． D．
（容易題）4．2x3可以表示為【A】
A．x3＋x3 B．x3·x3 C．2x·2x·2x D．8x
（容易題）5． 不等式組
2x＜6， x＋1≥－4 的解集是【A】
A．－5≤x＜3 B．－5＜x＜3 C．x≥－5 D．x＜3 （容易題）6．下列圖形中，既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是【C】
A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正五邊形
（容易題）7．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是【A】
第7題 俯視圖
主視圖 左視圖
2 0 1 BA 1 1  0 1 2 BA
0 2 3 BA 1 0 2 3 BA 1
55
A．圓錐 B．圓柱
C．三棱錐 D．長(zhǎng)方體
（容易題）8．如圖，是由7個(gè)大小相同的小正方體堆砌而成的幾何體，若從標(biāo)有①、②、③、④
的四個(gè)小正方體中取走一個(gè)后，余下幾何體與原幾何體的主視圖相同，
則取走的正方體是（ ）【A】
A．① B．② C．③ D．④
（容易題）9．如圖所示的幾何體的俯視圖是【B】
（容易題）10．在端午節(jié)到來(lái)之前，學(xué)校食堂推薦了 A，B，C 三家粽子專(zhuān)賣(mài)店，對(duì)全校師生愛(ài)吃
哪家的粽子作調(diào)查，以決定最終向哪家店采購(gòu)．下面的統(tǒng)計(jì)量中最值得關(guān)注的是【D】
A．方差 B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．眾數(shù) （容易題）11． 如圖，點(diǎn) E，F(xiàn) 在線段 BC 上，△ABF 與△DEC 全等，點(diǎn) A 與點(diǎn) D，
點(diǎn) B 與點(diǎn) C 是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，AF 與 DE 交于點(diǎn) M，則∠DEC＝【D】
A． ∠B B． ∠A C． ∠EMF D． ∠AFB （容易題）12．△ABC 中，AB<BC，用尺規(guī)作圖 ．．．．在 BC 上取一點(diǎn) P，使 PA+PC=BC，
則下列作法正確的是【D】
C DBA正 面
第 9 題
第 8 題
第 11 題
56
第15題
（容易題）13． 如圖，是在直角坐標(biāo)系中圍棋子擺出的圖案，若再擺放一黑一白兩枚棋子，使 9
枚棋子組成的圖案既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這兩枚棋子的坐標(biāo)是【A】
A．黑（3，3），白（3，1）
B．黑（3，1） ，白（3，3）
C．黑（1，5） ，白（5，5）
D．黑（3，2），白（3，3） （容易題）14． 如圖，DE 是△ABC 的中位線，過(guò)點(diǎn) C 作 CF ∥BD 交 DE 的延長(zhǎng)線于
點(diǎn) F，則下列結(jié)論正確的是【B】
A． EF＝CF B． EF＝DE C． CF＜BD D． EF＞DE
（容易題）15．如圖，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中點(diǎn) M 與點(diǎn) C 被湖隔開(kāi)，若測(cè)得 AM
的長(zhǎng)為 1．2km，則 M，C 兩點(diǎn)間的距離為【D】
A．0．5km B．0．6km
C．0．9km D．1．2km
（容易題）16．已知三個(gè)數(shù) a、b 、 c 的平均數(shù)是 0，則這三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示的位置不可能 ．．．是（ ）
【D】
（中等題）17．如圖，用十字形方框從日歷表中框出 5 個(gè)數(shù)，已知這 5 個(gè)數(shù)的和為 5a-5，a 是方框①,
②, ③, ④中的一個(gè)數(shù)，則數(shù) a 所在的方框是（ ） 【C】
A．① B．②
C．③ D．④
第 13 題
第 14 題
第 17 題
57
（中等題）18． 動(dòng)物學(xué)家通過(guò)大量的調(diào)查估計(jì)，某種動(dòng)物活到 20 歲的概率為 0．8，
活到 25 歲的概率為 0．6，則現(xiàn)年 20 歲的這種動(dòng)物活到 25 歲的概率是【B】
A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．48 （中等題）19 已知△ABC 的周長(zhǎng)是 l，BC＝l－2AB，則下列直線一定為△ABC 的對(duì)稱(chēng)軸的是【C】 A．△ABC 的邊 AB 的中垂線 B．∠ACB 的平分線所在的直線 C．△ABC 的邊 BC 上的中線所在的直線 D．△ABC 的邊 AC 上的高所在的直線
（中等題） 20．已知甲、乙兩個(gè)函數(shù)圖像上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo) x 與對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo) y 分別如下表所示．若
這兩個(gè)函數(shù)圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，則交點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 是【D】
A．0 B．1
C．2 D．3
（中等題）21．平面直角 坐標(biāo)系中，已 知□ABCD 的三個(gè)頂 點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A（m，n），
B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），則點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 【A】
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
（中等題）22．已知二次函數(shù) 2 y ax bx c    的圖像如圖所示，下列結(jié)論正確的是【D】 A． 0 a B． 0 c C． 2 4 0 b ac   D． 0 a b c   
x 1 2 3 4 y 0 1 2 3
x －2 2 4 6 y 0 2 3 4
甲 乙
第 22 題
58
（中等題）23． 如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，將 △ABC 折疊，使點(diǎn) A 落在 BC 邊上的點(diǎn) D 處，EF 為折痕，若 AE＝3，
則 sin∠BFD 的值為【A】
A．
3 1
B．
3 22
C．
4 2
D．
5 3
（稍難題）24．已知點(diǎn) A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一個(gè) 函數(shù)圖像上 ，
這個(gè)函數(shù) 圖像可以是【C】
A B C D
（稍難題）25． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（0，2），在 x 軸上任 取一點(diǎn) M，完成以下作圖步驟：①連接 AM，作線段 AM 的垂直平分線 l1， 過(guò)點(diǎn) M 作 x 軸的垂線 l2，記 l1，l2的交點(diǎn)為 P；②在 x 軸上多次改變點(diǎn) M 的位置，用①的方法得到相應(yīng)的點(diǎn) P，把這些點(diǎn)用平滑的曲線順次連接起 來(lái)，得到的曲線是【B】 A．直線 B．拋物線 C．雙曲線 D．雙曲線的一支
（稍難題）26．設(shè) 681×2019－681×2018＝a，2015×2016－2013×2018＝b， 6782＋1358＋690＋678 ＝c，則 a，b，c 的大小關(guān)系是【A】 A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
（容易題）27．計(jì)算：  3 279 ．【0】
（容易題）28．分解因式： m mx  2 = ． 【   ) 1(1  xxm 】
（容易題）29．計(jì)算：     1 3 1 3 mm m ． 【3】
第 23 題
第 25 題
xO
y
O
y
x O
y
x
O
y
x
59
第 33 題
（容易題）30．說(shuō)明命題“ 4 x  ，則 2 16 x  ”是假命題的一個(gè)反例可以
是 ．
【答案不唯一，如“0 4  ，而 2 0 16  ”】
（容易題）31．如圖 4，在矩形 ABCD 中，對(duì)角線 AC，BD 相交于點(diǎn) O，E 是邊
AD 的中點(diǎn)，若 AC＝10，DC＝2 5，則∠EBD 的大小約為 ． （參考數(shù)據(jù)：tan26°34′≈1 2 ） 【18 度 26 分】 （容易題）32．寫(xiě)出一個(gè) y 關(guān)于 x 的二次函數(shù)的解析式，且它的圖像的頂點(diǎn)在 y 軸上： ． 【如 2 xy  （只要 c bxa xy   2 中 0 ,0  ba 即可）】
（容易題）33．右圖是由射線 AB，BC，CD，DE，組成的平面圖形，
則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____．【360°】 （容易題）34．一個(gè)不透明的袋子中有 3 個(gè)紅球和 2 個(gè)黃球，這些球除顏色外完
全相同．從袋子中隨機(jī)摸出 1 個(gè)球，這個(gè)球是黃球的概率為 ．【
5 2
】
（容易題）35．如圖，將一副三角尺疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)為 °．【75】 （中等題）36．如圖，在△ABC 中，AB=AC，點(diǎn) D 在邊 BC 上，連接 AD，將線段 AD
繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 AE，使得∠DAE=∠BAC，連接 DE 交 AC 于 F．請(qǐng)寫(xiě)出圖中一對(duì)相似的三
角形： ． （只要寫(xiě)出一對(duì)即可） 【如：△AFE∽△DFC，△ABD∽△AEF，△ABD∽△DCF， △ADF∽△ACD，△ABC∽△ADE；】 （中等題）37．如圖所示的兩段弧中，位于上方的弧半徑為 r 上，下方的弧半徑為 r 下，
4 6 

第35題

O

E
 
圖6

D

C

B

A
第31題
60
則 r 上 r 下． （填“＞”“=”“＜”）【＜】 （中等題）38．如圖，正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 、 F 分別為 AB、CD 上的點(diǎn)，且 AB CFA E 3 1 ， 點(diǎn) O 為線段 EF 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作直線與正方形的一組對(duì)邊分別交于 P 、 Q 兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足 PQ=EF．則這樣的直線 PQ（不同于 EF）有 條．【3】
（中等題）39．公元 3 世紀(jì)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽就能利用近似公式 a2＋r≈a＋ r 2a
得到 2的近似
值 ． 他 的 算 法 是 ： 先 將 2看 成 12＋1， 由 近 似 公 式 得 2≈1＋ 1 2×1
＝3 2
； 再 將 2看 成
（3 2
）2＋（－1 4
），由近似公式得 2≈3 2
＋
－1 4 2×3 2
＝17 12
；…依此算法，所得 2的近似值會(huì)越來(lái)越精
確．當(dāng) 2取得近似值577 408 時(shí)，近似公式中的 r 是 ． 【－ 1 144
】
（稍難題）40．如圖，6 個(gè)形狀，大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．已知菱
形的一個(gè)內(nèi)角為 60°，A，B，C 都在格點(diǎn)上，則 tan ABC  的值是 ． 【 3 2
】 （稍難題）41．如圖，⊙O 的弦 BC 長(zhǎng)為 8，點(diǎn) A 是⊙O 上一動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC=  45 ，點(diǎn) D，E 分
別是 BC， AB的中點(diǎn)，則DE長(zhǎng)的最大值是 ． 【 2 4 】
（稍難題）42．已知點(diǎn) P（m，n）在拋物線 y＝ax2－x－a 上，當(dāng) m≥－1 時(shí)，總
A
B C
E
D
FO
第38題E
B
A
CD
F
第36題
第 37 題
第 40 題
A
B
C
A
B A
C
D A
E A
O A 第 41 題
→

圖5

A

B

C

O
第 43 題
61
有 n≤1 成立，則 a 的取值范圍是 ．【－1 2
≤a＜0】
（稍難題） 43．如圖，已知∠ABC＝90°， AB＝πr， BC＝πr 2
，半徑為 r 的⊙O 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿 A→B→C
方向滾動(dòng)到點(diǎn) C 時(shí)停止．則圓心 O 運(yùn)動(dòng)的路程是 ． 2πr
（容易題）44．計(jì)算：10＋8×(－1 2
)2－2÷1 5 ．
解： 10＋8×(－1 2
)2－2÷1 5
＝10＋8×1 4
－2×5
＝10＋2－10 ＝2． （容易題）45．計(jì)算： 2 0 2 2cos60 (3.14 π)     o ．
解：原式=
1 1 2 1 4 2    1 4  ．
（容易題）46．化簡(jiǎn)： ) 4()2( 2   x xx ．
解：原式= x xxx 4 44 22   =4 （容易題）47．先化簡(jiǎn)，再求值： 2 1( 1 )
1
x
x x  

，其中 5 1 x  ．
解：原式= 1
( 1)( 1) x x x x x     = 1 1x  ． 當(dāng) 5 1 x  時(shí)， 原式= 1 5 1 1   = 1 5 = 5 5 ．
62
（容易題）48．解方程組
x＋y＝1， 4x＋y＝－8．
解：
x＋y＝1， 4x＋y＝－8． ②－①，得 3x＝－9， x＝－3 將 x＝－3 代入①，得 y＝4．
則這個(gè)方程組的解是
x＝－3， y＝4．
（容易題）49．解不等式
71 2 3 x x    ，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．
解：3x﹣6≤2（7﹣x） ． 3x﹣6≤14﹣2x． 3x+2x≤14+6． 5x≤20． x≤4．
把不等式解集在數(shù)軸上表示為
（容易題）50．解方程：
2 1
1
x
x x  

．
解： ( ) ( ) 2 2 1 1 x x x x + = + 2 22 2x x x x + = + 2x =
經(jīng)檢驗(yàn) 2 x=- 是原方程的解．
①
②
0 1 2 3 4 54 -3 -2 -1
63
（容易題） 51．如圖，在□ABCD 中，BC＝10，AC＝8，BD＝14．求△AOD 的 周
長(zhǎng)．
解：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AD＝BC＝10， AO＝1 2 AC＝4， DO＝1 2 BD＝7． ∴△AOD 的周長(zhǎng)＝10＋4＋7＝21．
（容易題）52．已知：如圖，B，A，E 在同一直線上，AC∥BD 且 AC=BE，∠ABC=∠D． 求證：AB=BD． 證明：∵AC∥BD， ∴∠CAB=∠EBD． 在△CAB 和△EBD 中
∵
,
,
.
CAB EBD ABC D AC BD ìÐ =Ð ï ï ï ïÐ =Ð í ï ï ï = ï î ∴△CAB≌△EBD． ∴AB=BD．
（容易題）53．如圖，已知四邊形 ABCD．請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫�(gè)關(guān)系中，選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件， 推出四邊形 ABCD是平行四邊形，并予以證明． 關(guān)系：① AD∥BC，② CD AB ， ③   180 CB ，④ C A   ． 已知：在四邊形 ABCD中， ， ， （填序號(hào)，寫(xiě)出一種情況即可） 求證：四邊形 ABCD是平行四邊形．
情形一：選擇 ①，③ 證明：∵   180 CB ，
A
B C
D
第53題
第51題
第 52 題
64
∴AB∥DC ． 又∵ AD∥BC, ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形． 情形二：選擇 ①，④ 證明：∵ AD∥BC， ∴   180 BA ． 又∵ C A   ， ∴   180 BC ． ∴AB∥DC ． ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形． 情形三：選擇 ②，③ 證明：∵   180 CB ， ∴AB∥DC ． 又∵ CD AB ， ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形． 情形四：選擇 ③，④ 證明：∵   180 CB ， ∴AB∥DC． 又∵ C A   ， ∴   180 BA ． ∴ AD∥BC． ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形．
（容易題） 54．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師要求學(xué)生證明命題： “角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等”．以 下是小華解答的部分內(nèi)容（缺少圖形和證明過(guò)程） ，請(qǐng)你把缺少內(nèi)容補(bǔ)充完整． 已知：點(diǎn) P 在∠AOB 的角平分線 OC 上，PD⊥OA 于 D,PE⊥OB 于 E． 求證：PD=PE． 證明： 畫(huà)圖（如圖所示） ． 證明：∵OC 平分∠AOB，∴∠1=∠2． ∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠3=∠4=90°． ∵OP=OP, ∴△ODP ≌△OEP． ∴PD=PE．
（容易題）55．某公司欲招聘一名工作人員，對(duì)甲、乙兩位應(yīng)聘者進(jìn)行面試和筆試，他們的成績(jī) （百分制）如下表所示．
 

[NextPage]

第 54 題
65
應(yīng)聘者 面試 筆試 甲 87 90 乙 91 82 若公司分別賦予面試成績(jī)和筆試成績(jī) 6 和 4 的權(quán)，計(jì)算甲、乙兩人各自的平均成績(jī)，誰(shuí)將被 錄�。� 解：由題意得， 甲應(yīng)聘者的加權(quán)平均數(shù)是6×87＋4×90 6＋4 ＝88.2． 乙應(yīng)聘者的加權(quán)平均數(shù)是6×91＋4×82 6＋4 ＝87.4． ∵88.2＞87.4， ∴甲應(yīng)聘者被錄取．
（容易題）56．A、B 兩組卡片共 5 張，A 中三張分別寫(xiě)有數(shù)字 2、4、6，B 中兩張分別寫(xiě)有 3、5． 它
們除數(shù)字外沒(méi)有任何區(qū)別． （1）隨機(jī)地從 A 中抽取一張，求抽到數(shù)字為 2 的概率； （2）隨機(jī)地分別從 A、B 中各抽取一張，請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果．現(xiàn) 制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則：若所選出的兩數(shù)之積為 3 的倍數(shù)，則甲獲勝；否則乙獲勝．請(qǐng)問(wèn)這樣的
游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方公平嗎？為什么？
解：（1）P（抽到數(shù)字為 2）
3 1 ； （2）不公開(kāi)，理由如下．畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
從樹(shù)狀圖中可知共有 6 個(gè)等可能的結(jié)果， 而所選出的兩數(shù)之積為 3 的倍數(shù)的機(jī)會(huì)有 4 個(gè)． ∴ P（甲獲勝） 3 2 6 4  ，而 P（乙獲勝）
3 1
3 21   ．
∵ P（甲獲勝）>P（乙獲勝）, ∴ 這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方不公平．
（容易題）57．某市第三中學(xué)組織學(xué)生參加生命安全知識(shí)網(wǎng)絡(luò)測(cè)試．小明對(duì)九年 2 班全體學(xué)生的測(cè)試 成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了以下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖． 根據(jù)圖表中的信息解答下列問(wèn)題： （1）求九年 2 班學(xué)生的人數(shù)； （2）寫(xiě)出頻數(shù)分布表中 a,b 的值； （3）已知該市共有 80000 名中學(xué)生參加這次安全知識(shí)測(cè)試，若規(guī)定 80 分以上（含 80 分）為優(yōu)秀， 估計(jì)該市本次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)； （4） 小明通過(guò)該市教育網(wǎng)站搜索發(fā)現(xiàn)，全市參加本次測(cè)試的中學(xué)生中，成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀有 56320 人． 請(qǐng)
2
3 5
4
3 5
6
3 5
A
B
66
你用所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)簡(jiǎn)要說(shuō)明實(shí)際優(yōu)秀人數(shù)與估計(jì)人數(shù)出現(xiàn)較大偏差的原因． 組別 分?jǐn)?shù)段（x） 頻數(shù) A 0≤x＜60 2 B 60≤x＜70 5 C 70≤x＜80 17 D 80≤x＜90 a E 90≤x≤100 b
（1）學(xué)生的人數(shù)= 17 34%
=50；
（2）a=12，b=14； （3）80000×（24%+28%）=41600； （4）因?yàn)橹怀椴榱司拍?2 班測(cè)試成績(jī)對(duì)于全市來(lái)講不具有代表性，而抽查的樣本只有 50 名學(xué)生， 對(duì)于全市 80000 名學(xué)生來(lái)講不具有廣泛性．
（容易題）58．已知一次函數(shù) y＝kx＋2，當(dāng) x＝－1 時(shí)，y＝1．求此函數(shù)的解析式，并在平面直角
坐標(biāo)系中畫(huà)出此函數(shù)的圖像．
解：把 x＝－1，y＝1 代入 y＝kx＋2，得 1＝（－1）k＋2， k＝1 ． 則函數(shù)解析式為 y＝x＋2 ．
列表，得
畫(huà)圖，得
（中等題）59．如圖，已知 AB 是⊙O 的直徑，點(diǎn) D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一點(diǎn)，若 AD∥OC，
直線 BC 與⊙O 相交，判斷直線 CD 與⊙O 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
證明：連接 OD，
x 0 －2 y 2 0
D 24%
A
B
C 34%
E
第 59 題
67
∵AD∥OC， ∴∠BOC＝∠OAD， ∠COD＝∠ADO． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO． ∴∠BOC＝∠COD． ∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△BOC≌△DOC． ∴∠OCB＝∠OCD． 即 OC 是∠DCB 的平分線． ∴點(diǎn) O 到直線 CB，CD 的距離相等，記為 d． ∵直線 BC 與⊙O 相交， ∴d＜OB＝OD． ∴直線 DC 與⊙O 相交． （中等題）60．如圖，在△ABC 中，∠C=90，點(diǎn) O 在 AC 上，
以 OA 為半徑的⊙O 交 AB 于點(diǎn) D，BD 的垂直平分線交 BC 于
點(diǎn) E，交 BD 于點(diǎn) F，連接 DE．
（1）判斷直線 DE 與⊙O 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若 AC=6，BC=8，OA=2，求線段 DE 的長(zhǎng)．
解：(1) 直線 DE 與⊙O 相切． 理由如下： 連接 OD． ∵OD=OA，
B
C
O
D
A
第60題
68
∴∠A=∠ODA． ∵EF 是 BD 的垂直平分線， ∴EB=ED． ∴∠B=∠EDB． ∵∠C=90， ∴∠A＋∠B＝90． ∴∠ODA＋∠EDB＝90． ∴∠ODE＝180－90＝90． ∴直線 DE 與⊙O 相切． (2) 連接 OE，設(shè) DE=x，則 EB=ED=x，CE=8-x． ∵∠C=∠ODE=90， ∴ 2 2 2 2 2 OC CE OE OD DE     ． ∴ 2 2 2 2 4 (8 ) 2 x x    ． ∴ 4.75 x ． 即 DE=4.75 ．
（中等題）61．小明家飲水機(jī)中原有水的溫度是 20℃，通電開(kāi)機(jī)后，飲水機(jī)自動(dòng)開(kāi)始加熱[此過(guò)程 中水溫 y (℃)與開(kāi)機(jī)時(shí)間 x (分)滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān) 系]，當(dāng)加熱到 100℃時(shí)自動(dòng)停止加熱，隨后水溫開(kāi) 始下降[此過(guò)程中水溫 y (℃)與開(kāi)機(jī)時(shí)間 x(分)成 反比例關(guān)系]，當(dāng)水溫降至 20℃時(shí)，飲水機(jī)又自動(dòng) 開(kāi)始加熱……，重復(fù)上述程序（如圖所示）．根據(jù)
圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題： （1）當(dāng) 0≤x≤8 時(shí)，求水溫 y(℃)與開(kāi)機(jī)時(shí)間x(分)
的函數(shù)關(guān)系式； （2）求圖中t的值； （3）若小明在通電開(kāi)機(jī)后即外出散步，請(qǐng)你預(yù)測(cè)小明散步 45 分鐘回到家時(shí)，飲水機(jī)內(nèi)水的
溫度約為多少℃？ 解：（1）當(dāng) 0≤x≤8 時(shí)，設(shè)水溫 y(℃)與開(kāi)機(jī)時(shí)間x(分)的函數(shù)關(guān)系式為 y kx b   ，
依題意，得
  
  1008 20 bk b
解得
  
 
20 10
b k ∴ 20 10  xy ． （2）在水溫下降過(guò)程中，設(shè)水溫 y(℃)與開(kāi)機(jī)時(shí)間x(分) 的函數(shù)關(guān)系式為
x my  ，
20
y(℃) 100
O 8 x(分) t 第61題
69
依題意，得
8 100 m  ，即 800 m ．
∴
x y 800  ． 當(dāng) 20 y 時(shí)，
t 8002 0 ，解得 40 t ． （3）∵45-40=5≤8, ∴當(dāng) 5 x 時(shí)， 70 2051 0  y ． 答：小明在通電開(kāi)機(jī)后外出散步 45 分鐘回到家時(shí)，飲水機(jī)內(nèi)水溫約為 70℃．
（中等題）62．為了迎接北京和張家口共同申辦及舉辦 2020 年冬奧會(huì)，全長(zhǎng) 174 千米的京張高鐵 于 2014 年底開(kāi)工．按照設(shè)計(jì)，京張高鐵列車(chē)從張家口到北京最快用時(shí)比最慢用時(shí)少 18 分鐘，最 快列車(chē)時(shí)速是最慢列車(chē)時(shí)速的 29 20 倍，求京張高鐵最慢列車(chē)的速度是多少？ 解：設(shè)京張高鐵最慢列車(chē)的速度是 x 千米/時(shí)．
由題意，得
60 18
20 29 174-1 74  xx
．
解得 180 x ． 經(jīng)檢驗(yàn)， 180 x 是原方程的解，且符合題意． 答：京張高鐵最慢列車(chē)的速度是 180 千米/時(shí)． （中等題）63．已知正比例函數(shù) ) 0(1  aa xy 與反比例函數(shù) )0(2  k x ky 的圖像在第一象限內(nèi)交于點(diǎn) A（2，1）． （1）求a 、 k的值； （2）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的大致圖像，
并根據(jù)圖像直接回答 1 y > 2 y 時(shí)x的取值范圍． 解：（1）把點(diǎn) A（2，1）分別代入 y1=ax 和
x ky 2 中得 2 1a ， 2 k ． （2）由圖像知，當(dāng) y1＞y2時(shí)，-2＜x＜0 或 x＞2．
（中等題）64．某進(jìn)口專(zhuān)營(yíng)店銷(xiāo)售一種“特產(chǎn)”，其成本價(jià)是 20 元/千克，根據(jù)以往的銷(xiāo)售情況描 出銷(xiāo)量 y（千克/天）與售價(jià) x（元/千克）的關(guān)系，如圖所示． （1）試求出 y 與 x 之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式； （2）利用（1）的結(jié)論：①求每千克售價(jià)為多少元時(shí)，每天可以獲得最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)； ②進(jìn)口產(chǎn)品檢驗(yàn)、運(yùn)輸?shù)冗^(guò)程需耗時(shí) 5 天，該“特產(chǎn)”最長(zhǎng)的保存期為一個(gè)月（30 天），若售價(jià)不 低于 30 元/千克，則一次進(jìn)貨最多只能多少千克？
xy 2 1 1 
x y 2 2 
O x
y
第63題
A(2,1)
1
1 2 3 4 512345 2 3 4 5 -1 -2
-4 -5 -3
70
解：（1）從圖像中可知，此函數(shù)近似為一次函數(shù) 設(shè)此一次函數(shù)解析式為 b kxy   （ 0 k ） ．
依題意得：
  
  324 0 383 7 bk bk
，解得：
  
  112 2
b k ∴y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 112 2  xy ． （2）①設(shè)每天可以獲得的銷(xiāo)售利潤(rùn)為 w 元，依題意得： ( 20) ( 20)( 2 112) w x y x x      
2
2 2 152 2240 2( 38) 648 x x x      
．
∵ 0 2 ，開(kāi)口向下, ∴當(dāng) 38 x 元時(shí)，每天可以獲得的銷(xiāo)售利潤(rùn) w 取得最大值 648 元． ②設(shè)一次進(jìn)貨為 s 千克，依題意得： 25 25( 2 112) 50 2800 s y x x       ． ∵ 0 50 ，s 隨 x 的增大而減小，又 30 x ∴當(dāng) 30 x 時(shí)，s 取得最大值 1300． 故一次進(jìn)貨最多只能 1300 千克．
（稍難題）65．對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù) 0 M  ，對(duì)于任意的函數(shù)值 y，都滿(mǎn)足 M y M   ，則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿(mǎn)足條件的M 中，其最小值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù) 的邊界值．例如，下圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是 1． （1）分別判斷函數(shù) 1 y x    0x  和   1 4 2y x x     是 不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值； （2）若函數(shù) 1 y x     a x b b a    ， 的邊界值是 2， 且這個(gè)函數(shù)的最大值也是 2，求b的取值范圍； （3）將函數(shù)   2 1 0y x x m m     ， 的圖像向下平移m 個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m 在什么范 圍時(shí)，滿(mǎn)足 3 1 4 t  ？ 解：（1） 1( 0) y x x = > 不是有界函數(shù)， 1( 4 2) y x x = + - < £ 是有界函數(shù)，其邊界為 3．
71
（2）∵y=-x+1，∴y 隨 x 的增大而減小， ∵a x b b a    ， ，且函數(shù)的最大值是 2， ∴當(dāng) x=a 時(shí)，2=-a+1，a=-1． 當(dāng) x=b 時(shí)，y=-b+1，
∵
2 1 2, . b b a ì- £- + < ï ï í ï > ï î
∴-1＜b≤3． （3）若 m＞1，函數(shù)向下平移 m 個(gè)單位，x=0 時(shí)，函數(shù)的值小于-1，此時(shí)函數(shù)的邊界 t 大于 1，與題意不符，故 m≤1． 當(dāng) x=-1 時(shí)，y=1；當(dāng) x=0 時(shí)，ymin=0． 將函數(shù)   2 1 0y x x m m     ， 的圖像向下平移 m 個(gè)單位后，
對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（-1,1-m）和(0,-m) ∵ 3 1 1 4 m£ - £ 或 3 1 4 m£- £- ． ∴ 1 0 4 m 或 3 1 4 m ． （稍難題）66．如圖，已知點(diǎn) A（－1，－2），拋物線 F： 2 2 2 2y x mx m    與直線 x=－2 交于點(diǎn) P． （1）當(dāng)拋物線 F 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 時(shí)，求它的表達(dá)式； （2）設(shè)點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 P y ，求 P y 的最小值，此時(shí)拋物線 F 上有兩點(diǎn) 1 1 ( , ) x y ， 2 2( , )x y ，且 1 2 x x  ≤－2，比較 1 y 與 2 y 的大小； （3）已知點(diǎn) B（0，2），點(diǎn) C（2，2） ，當(dāng)拋物線 F 與線段 BC 有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě) 出 m 的取值范圍． 解：(1) ∵拋物線 F 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（－1，－2）， ∴ 2 2 1 2 2 m m     ． ∴m=-1． ∴拋物線 F 的表達(dá)式是 2 2 1 y x x    ． (2)當(dāng) x=-2 時(shí)， 2 4 4 2Py m m    = 2 ( 2) 2 m  ． ∴當(dāng) m=-2 時(shí)， P y 的最小值=－2． 此時(shí)拋物線 F 的表達(dá)式是 2 ( 2) 2y x   ． ∴當(dāng) 2 x 時(shí)，y 隨 x 的增大而減�。� ∵ 1 2 x x  ≤－2， 第 65 題 第 66 題
0 37 39 40
32 34
38
售價(jià) x(元/千克)
銷(xiāo)量 y(千克/天)
第 64 題
72
∴ 1 y > 2 y ． (3) 2 0 m   或2 4 m  ．
（稍難題）67．已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與直線y＝－4x＋m相交于第一象限不同的兩點(diǎn)： A（5，n） ，B（e，f） ． （1）若 m＝4，x＜1，畫(huà)出一次函數(shù) y＝－4x＋m 圖像； （2）將此拋物線平移，設(shè)平移后的拋物線為 y＝－x2＋px＋q 且過(guò)點(diǎn) A， ① 若 b＝4，c＝6，p＝5，是否可以通過(guò)平移使拋物線的頂點(diǎn)恰好在直線 y＝－4x＋m 上？請(qǐng)說(shuō)明理由； ② 若點(diǎn)（1，2）在平移后的拋物線上，且 m－q＝25．在平移過(guò)程中，若拋物線 y＝ －x2＋bx＋c 向下平移了 s（s＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，求 s 的取值范圍． 解：（1）由題得，直線解析式為 y＝－4x＋4 ． 列表，得
畫(huà)圖如右． （2）① 解：由題得，平移前的拋物線解析式為 y＝－x2＋4x＋6． 把 A（5，n）代入得，n＝1 ． 把 A（5，1）分別代入 y＝－4x＋m 和 y＝－x2＋5x＋q，得 m＝21，q＝1． ∴直線的解析式為 y＝－4x＋21， 平移后的拋物線解析式為 y＝－x2＋5x＋1． ∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)為（5 2
， 29 4 ）． 當(dāng) x＝5 2 時(shí)，y＝－4x＋21＝11≠29 4 ． ∴不能通過(guò)平移，使平移后的拋物線的頂點(diǎn)恰好在直線 y＝－4x＋m 上． ② 解：將 A（5，n）分別代入 y＝－x2＋bx＋c，y＝－4x＋m， 將 A（5，n）， （1，2）分別代入 y＝－x2＋px＋q，得 －25＋5b＋c＝n， －20＋m＝n， －25＋5p＋q＝n， -1＋p＋q＝2 ． 又 m－q＝25 ， 解得 m＝22，n＝2，p＝6，q＝－3，c＝27－5b． ∴直線的解析式為 y＝－4x＋22， 平移前拋物線的解析式為 y＝－x2＋bx＋27－5b ， 平移后拋物線的解析式為 y＝－x2＋6x－3． 設(shè)在平移過(guò)程中，拋物線向下平移了 s 個(gè)單位長(zhǎng)度， 又 y＝－x2＋6x－3＝－（x－3）2＋6， y＝－x2＋bx＋27－5b＝－（x－b 2 ）2＋(b2 4 －5b＋27) ，
x 0 1 y 4 0 _ x
_ y
_ O 1
4
y＝－4x＋4（x＜1）
73
∴s＝（b2 4 －5b＋27）－6＝1 4
（b－10）2－4．
當(dāng)－x2＋bx＋27－5b＝－4x＋22 時(shí)，可得 x1＝5，x2＝b－1． ∴B（b－1，－4b＋26） ． ∵A，B 在第一象限且為不同兩點(diǎn)， ∴b－1＞0，－4b＋26＞0 且 b－1≠5． ∴1＜b＜13 2 且 b≠6． 對(duì)于 s＝1 4 （b－10）2－4． ∵1 4 ＞0，∴當(dāng) b＜10 時(shí)，s 隨 b 的增大而減�。� ∵1＜b＜13 2 且 b≠6， ∴－15 16 ＜s＜65 4 且 s≠0． ∵s＞0, ∴0＜s＜65 4 ． ∴在平移過(guò)程中，拋物線 y＝－x2＋bx＋c 向下平移的單位長(zhǎng)度 s 的取值范圍 是 0＜s＜65 4 ． （稍難題）68．如圖，拋物線 C1： x xy 3 23 2  的頂點(diǎn)為 A，與 x 軸的正半軸交于點(diǎn) B．
（1）將拋物線 C1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來(lái)的 2 倍，求變換后得到的拋物線
的解析式；
（2）將拋物線 C1上的點(diǎn)（x，y）變?yōu)椋╧x，ky） （|k|＞1），變換后得到的拋物線記作 C2．拋
物線 C2的頂點(diǎn)為 C，點(diǎn) P 在拋物線 C2上，滿(mǎn)足 S△PAC＝S△ABC， 且∠ACP＝90°． ①當(dāng) k＞1 時(shí)，求 k 的值； ②當(dāng) k＜-1 時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出 k 的值，不必說(shuō)明理由．
解：（1）∵ 3 )1(3323 2 2   xxxy ，
∴拋物線 C1經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O，A（1， 3）和 B（2，0）三點(diǎn)．
∴變換后得到的拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O，（2， 3 2 ）和（4，0）三點(diǎn)．
第 68 題
74
∴變換后得到的拋物線的解析式為 x xy 3 2 2 3 2  ．
（2）①當(dāng) k＞1 時(shí)，∵拋物線 C2經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O， （k， 3k）和（2k，0）三點(diǎn)．
∴拋物線 C2的解析式為 x x k y 3 23 2  ．
∴O，A，C 三點(diǎn)共線，且頂點(diǎn) C 為（k， 3k） ．
∵S△PAC＝S△ABC， ∴BP∥AC． 過(guò)點(diǎn) P 作 PD⊥x 軸于 D，過(guò) B 作 BE⊥AO 于 E． 依題意得△ABO 是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，四邊形 CEBP 是矩形． ∴OE＝1，CE＝BP＝2k－1．
∴BD＝
2 1k ，PD＝ ) 12( 2 3  k ．
∴P（
2 3k ， ) 12( 2 3  k ）．
∴ 2 3 3 3 3 (2 1) ) 2 3( ) 2 2 2 k k k k      （ ．
解得 k＝
2 9
．
②k＝
2 9 ．
（稍難題） 69．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) A（1，m＋1）， B（a，m＋1），C（3，m＋3），D（1，m＋a），m ＞0 ，a＞1． （1）若 AD∥BC ，判斷四邊形 ABCD 的形狀并說(shuō)明理由；
75
_ y
_ xO
A B
C
D
E
F
G
P
圖 2
（2）若 a＜3，點(diǎn) P（n－m，n）是四邊形 ABCD 內(nèi) 的一點(diǎn)，且△PAD 與△PBC 的面積相等，求 n－m 的值． 解：（1）∵A（1，m＋1），B（a，m＋1）， ∴yA＝y(tǒng)B ． ∴AB∥x 軸． ∵A（1，m＋1），D（1，m＋a）， ∴xA＝xD． ∴AD∥y 軸． ∴∠DAB＝90° ． 又 a＞1， ∴AB＝a－1， AD＝a－1． ∴AD＝AB ． 如圖 1， ∵CB∥AD， ∴CB∥y 軸． ∴xC＝xB， ∴a＝3 ． ∴yC＝y(tǒng)D＝m＋3 ． ∴CD∥x 軸． ∴CD∥AB． ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形． 又∠DAB＝90°， ∴四邊形 ABCD 是矩形． 又 AD＝AB， ∴四邊形 ABCD 是菱形． ∴四邊形 ABCD 是正方形． （2）設(shè)直線 AC 的解析式為 y＝kx＋b， 將 A（1，m＋1），C（3，m＋3）分別代入，可得 k＝1，b＝m． ∴y＝x＋m． ∵當(dāng) x＝n－m 時(shí)，y＝n－m＋m＝n， ∴點(diǎn) P（n－m，n）在直線 y＝x＋m 上． 又點(diǎn) P 在四邊形 ABCD 內(nèi)， ∴點(diǎn) P 在線段 AC 上． 如圖 2，過(guò)點(diǎn) P 作 PE⊥x 軸，交 AB 于點(diǎn) E，作 PF⊥y 軸，交 AD 于點(diǎn) F， ∵由（1）得，AB∥x 軸，AD∥y 軸， AD＝AB ， ∴PE＝n－m－1，PF＝n－m－1． ∴PE＝PF． O y
x
A B
C
D
第 69 題
_ y
_ xO
A B
CD
圖 1
76
∴S△PAD＝S△PAB ． ∵S△PAD＝S△PBC， ∴S△PAB＝S△PBC． ∴S△PAB＝1 2 S△ABC ． 過(guò)點(diǎn) C 作 CG⊥x 軸，交 AB 延長(zhǎng)線于點(diǎn) G，則 CG＝2． ∵1 2 AB·PE＝1 2 ×1 2 AB·CG． ∴PE＝1 2 CG． ∴n－m－1＝1． ∴n－m＝2．
（稍難題）70．定義：點(diǎn) P 是四邊形 ABCD 內(nèi) ．一點(diǎn)，若三角形△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 均
為等腰三角形，則稱(chēng)點(diǎn) P 是四邊形 ABCD 的一個(gè)“準(zhǔn)中心”． （1）如圖 1，已知點(diǎn) P 是正方形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，且∠PBC=∠PCB=60°，證明點(diǎn) P 是正邊 形 ABCD 的一個(gè)“準(zhǔn)中心”； （2）（1）中除點(diǎn) P 外，正方形 ABCD 還有幾個(gè)“準(zhǔn)中心”？并在圖 1 中分別畫(huà)出它們； （3）如圖 2，已知∠BAD=60°，AB=AD=6，點(diǎn) C 是∠BAD 平分線上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)在四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC 上最多存在幾個(gè)“準(zhǔn)中心”點(diǎn) P（自行畫(huà)出示意圖），并求出每個(gè)“準(zhǔn) 中心”點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)線段 AC 的長(zhǎng)．（精確到個(gè)位） 參考數(shù)據(jù)： 3 1.7 » ，sin37.5 0.6，cos37.5 0.8，tan37.5 0.8．
解：（1）證明：∵ABCD 是正方形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB=BC=CD
D
CB
A
P
圖1
B
D
圖2
A
第70題
77
又∵∠PBC=∠PCB=60°， ∴∠BPC=60°． ∴PB=PC=BC=AB=CD，∠PBA=∠PCD=30°, ∴△PBA≌△PCD，
∴PA=PD ． ∴△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 均為等腰三角形．
∴點(diǎn) P 是正邊形 ABCD 內(nèi)的一個(gè)“準(zhǔn)中心”． （2）正方形 ABCD 內(nèi)還有 4 個(gè)“準(zhǔn)中心”， （畫(huà)圖略）； （3）答：在四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC 上最多存在 3 個(gè)“準(zhǔn)中心”點(diǎn) P ． ① 如圖 1，當(dāng) PA=PB=PC=PD 時(shí)，點(diǎn) P 是“準(zhǔn)中心”點(diǎn)． ∵∠BAD=60°，點(diǎn) C 在∠BAD 的平分線上， ∴∠BAC=30°． ∴∠ACB=∠BPC=60°，∠ABC=90°．
則 AC=
6 4 3 sin60 3 2 AB   
．
② 如圖 2，當(dāng) PA=BA=DA，PB=PC=PD 時(shí)，點(diǎn) P 是“準(zhǔn)中心”點(diǎn)． 則 PA=6． ∵∠BAD=60°，點(diǎn) C 在∠BAD 的平分線上， ∴∠BAC=30°． ∴∠APB=75°,
∴∠PCB=
2 1
∠APB=37．5°．
作 BE⊥AC 于點(diǎn) E．
在 RtΔAEB 中， 3 2 1  ABB E ，
A
B
C
D
P
圖 1
A
B
C
D
P
圖 2
E
78
33c os   BAE ABA E ．
在 RtΔCEB 中，




5.3 7t an 3
tan ECB BEC E ,
∴ 9 5.3 7t an 333    CEA EA C ． ③如圖 3，當(dāng) AB=PB=PC=PD=AD 時(shí)，點(diǎn) P 是“準(zhǔn)中心”點(diǎn)． 此時(shí)四邊形 ABPD 是菱形． 連接 BD，
則 PA=2AE=2AB·cos30°=2×6×
2 3 =6 3,
∴ PC PAA C   16 636   ． （稍難題）71．如圖，△ABC 和△ADE 是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90，點(diǎn) P 為射線 BD，CE 的交點(diǎn)． （1）求證：BD=CE； （2）若 AB=2，AD=1，把△ADE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)， ①當(dāng)∠EAC=90時(shí)，求 PB 的長(zhǎng)； ②直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段 PB 長(zhǎng)的最小值與最大值． 解：(1)證明：∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90， ∴AB=AC，AD=AE． ∠DAB=90 BAE EAC   ． ∴△ADB≌△AEC． ∴BD=CE ． (2)①如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 在 AB 上時(shí)，BE=AB-AE=1． ∵∠EAC=90，
A
B
C
D
P
圖 3
E
第 71 題
圖 1
79
∴CE= 2 2 5 AE AC   ． 同(1)可證△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA ． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC ． ∴ PB BE AC CE  ． ∴ 1 2 5 PB  ． ∴ 2 5 5 PB ． ②如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 在 BA 延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=3． ∵∠EAC=90， ∴ CE= 2 2 5 AE AC   ． 同(1)可證△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA ． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC ． ∴ PB BE AC CE  ． ∴ 3 2 5 PB  ． ∴ 6 5 5 PB ． 綜上， 2 5 5 PB 或6 5 5 ． (3)PB 長(zhǎng)的最小值是 3 1  ，最大值是 3 1  ．
（稍難題）72．已知正方形 ABCD，點(diǎn) E 在直線 ．．CD 上．
圖 2
80
（1）若 F 是直線 ．．BC 上一點(diǎn)，且 AF⊥AE，求證：AF=AE； （請(qǐng)利用圖 1 所給的圖形加以證明）
（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，并在答題卡指定的區(qū)域畫(huà)出一個(gè)圖形說(shuō)明該逆命題是假命題； （3）若點(diǎn) G 在直線 ．．BC 上，且 AG 平分∠BAE，探索線段 BG
， DE
， AE 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)
明理由．
解：(1)證明：∵四邊形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠ADC=∠ABF=∠BAD=90°． ∵AE⊥AF, ∴∠EAF=90°=∠BAD． ∴∠BAF=∠DAE． ∴△ABF≌△ADE ． ∴AF=AE． (2)逆命題一：已知:正方形 ABCD 中，E 為直線 CD 上一點(diǎn)，F(xiàn) 為直線 BC 上一點(diǎn)，且 AF=AE．求證： AE⊥AF．（若寫(xiě)為“若 AF=AE，則 AE⊥AF ．”也可） 畫(huà)圖如下（畫(huà)出一種即可） ：
逆命題二：已知:正方形 ABCD 中，E 為直線 CD 上一點(diǎn)，AF⊥AE，AF=AE．求證： F 在直線 BC 上． （若寫(xiě)為“若 AF=AE ，且 AE⊥AF，則 F 在直線 BC 上．”也可）
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
備用圖圖 1
第 72 題
81
畫(huà)圖如下（畫(huà)出一種即可）：
逆命題三：已知:正方形 ABCD 中，E 為直線 CD 上一點(diǎn)，AF=AE．求證：F 在 直線 BC 上，且 AE⊥AF．（畫(huà)圖略）
（3）①如圖 1，當(dāng) E 在線段 CD 上時(shí)：AE=DE+BG． 證明：過(guò) A 點(diǎn)作 AF⊥AE 交 BC 延長(zhǎng)線于 F 點(diǎn)． 由（1）得△ABF≌△ADE， ∴∠1=∠2，AF=AE，BF=DE． ∵AG 平分∠BAE, ∴∠3=∠4． ∴∠1+∠3=∠2+∠4， 即∠FAG=∠DAG． ∵四邊形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC， ∴∠AGF=∠DAG=∠FAG． ∴AF=FG． ∴AE=AF=FG=BG+BF． ∴AE=BG+DE． ②如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 在 CD 延長(zhǎng)線上時(shí):BG=DE+AE． 證明：過(guò) A 點(diǎn)作 AF⊥AE 交 BC 延長(zhǎng)線于 F 點(diǎn)． 同理可證得 AF=FG=AE，BF=DE． ∴AE=AF=FG=BG－BF=BG－DE．
G
E
F
D
CB
A
2 4
3
1
圖 1
1
G
E
F
D
CB
A
2 4
3
圖 2
G
E
F
D
CB
A
圖 3
E
F
D
CB
A
F
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
82
③如圖 3，當(dāng) E 在 DC 延長(zhǎng)線上時(shí):AE=DE+BG，
證明同①．
綜上所述，線段 BG 、 DE 、 AE 之間的數(shù)量關(guān)系是： AE=DE+BG 或 AE=BG－DE．
（稍難題）73．若正方形的兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)在三角形的同一條邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的 另兩條邊上，則正方形稱(chēng)為三角形該邊上的內(nèi)接正方形．△ABC 中，設(shè) BC＝a，AC＝b，AB＝c， 各邊上的高分別記為 ha，hb，hc，各邊上的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)分別記為 xa，xb，xc． （1）模型探究：如圖，正方形 EFGH 為△ABC 邊 BC 上的內(nèi)接正方形．
求證：
aa xha 111  ；
（2）特殊應(yīng)用：若∠BAC＝90°，xb＝xc＝2，求
cb 11  的值； （3）拓展延伸：若△ABC 為銳角三角形，b＜c，請(qǐng)你判斷 xb與 xc的大小，并說(shuō)明理由． 解：（1）在正方形 EFGH 中． ∵EH∥FG，∴△AEH∽△ABC．
∵AD⊥BC，∴
EH AK BC AD  ．
∴
a
aaa h xh a x   ．∴
aa xha 111  ．
（2）由（1）得：
bb xhb 111  ． ∵∠A＝90°， ∴ c hb  ．∴ 2 111  cb ． （3）xb＞xc．
A
B P C
D
圖 1
E
第 73 題
83
證明：由（1）得：
bb xhb 111  ，
cc xhc 111  ．
∴
b
b b h b bh
x
  ，
c
c c h c ch
x
  ．
∵S＝ c b chb h 2 1 2 1  ，∴ c b chb h  ＝2S． 又∵ A ch b sin  ， A bh c sin  ，
∴
S xchb
xx
cb cb 2 )(11  
S AbcAcb 2 )s in(s in  

S Acb 2 )s in1) ((    ． ∵b＜c， A sin ＜1，
∴ 0 11   cb xx
． ∴xb＞xc．
（稍難題）74．如圖,四邊形 ABCD中, // AD BC , 45 B  o ,P 是BC 邊上一點(diǎn), PAD △ 的面積為 1 2 , 設(shè) AB x = ,AD y  ． (1)求 y 與x的函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出該函數(shù)的大致圖像；
(2)若 90 APD oÐ = ,求 y 的最小值． 解：(1)如圖 1,過(guò)點(diǎn) A作 AE BC  于點(diǎn)E． 在Rt ABE △ 中, 45 B  o ,AB x  ． ∴ 2 sin 2A E AB B x    ． ∵ 1 1 2 2A PDS AD AE   △ , ∴ 2 1 1 2 2 2 x y   ． ∴ 2 y x  （x>0）． 畫(huà)圖如右：
(2)如圖 2，取 AD 的中點(diǎn)，連接PF ，過(guò)點(diǎn)P作PH AD  于點(diǎn)H ． ∵PF PH ≥ ,
A
B P C
D
第 74 題
A
B C
D
P
HF
圖 1
84
∴ 2 1 2 2 y x  ． 即 2 2x x  ． 當(dāng) 2 = 2x x 時(shí)，y 有最小值．
此時(shí) x=1，y= 2 ．
∴ y 的最小值為 2 ．
（稍難題）75．定義：三邊長(zhǎng)和面積都是整數(shù)的三角形稱(chēng)為“整數(shù)三角形”． 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)從 32 根等長(zhǎng)的火柴棒（每根長(zhǎng)度記為 1 個(gè)單位）中取出若干根，首尾依
次相接組成三角形，進(jìn)行探究活動(dòng)． 小亮用 12 根火柴棒，擺成如圖所示的“整數(shù)三角形”； 小穎分別用 24 根和 30 根火柴棒擺出直角“整數(shù)三角形”； 小輝受到小亮、小穎的啟發(fā)，分別擺出三個(gè)不同的等腰“整數(shù)三角形”． ⑴請(qǐng)你畫(huà)出小穎和小輝擺出的“整數(shù)三角形”的示意圖； ⑵你能否也從中取出若干根，按下列要求擺出“整數(shù)三角形”，如果能，請(qǐng)畫(huà)出示意圖；如果
不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． ①擺出等邊“整數(shù)三角形”； ②擺出一個(gè)非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整數(shù)三角形”．
解：⑴小穎擺出如圖 1 所示的“整數(shù)三角形”：
小輝擺出如圖 2 所示三個(gè)不同的等腰“整數(shù)三角形”：
8
6
10 12
5
13
圖 1
4
3 3
5 5 5 5
4 4
3
8 10 10
6 6
圖 2
4
3
5
85
⑵①不能擺出等邊“整數(shù)三角形”．理由如下： 設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為 a，則等邊三角形面積為 2 4 3a ． 因?yàn)�，若邊長(zhǎng) a 為整數(shù)，那么面積 2 4 3a 一定非整數(shù)． 所以不存在等邊“整數(shù)三角形”． ②能擺出如圖 3 所示一個(gè)非特殊“整數(shù)三角形”：
4 5
12
15
13
圖 3
86
附錄 2：
試卷題型參考
（該試卷題型參考與初中學(xué)業(yè)水平考試試卷的題序安排、考試內(nèi)容等方面沒(méi)有對(duì)
應(yīng)關(guān)系，僅供學(xué)校教學(xué)及復(fù)習(xí)參考）
一、選擇題：(本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的) 1．絕對(duì)值等于 2 的數(shù)是
A．－2 或 2 B．－2 C．2 D．
2 1
2.下列計(jì)算中，正確的是 A．a(chǎn)＋a11＝a12 B．5a－4a＝a C．a(chǎn)6÷a5＝1 D．(a2)3＝a5 3.下列各式中，從左邊到右邊屬于因式分解的是 A． 2 ( 1)x x x x + = + B． 2 2 1= ( 2) 1 x x x x     C． 2 2 1=x x  （ -1） D． 2 2 6 9=x x x  （ -3） 4.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是 540°，則這個(gè)多邊形是 A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形 5．一只不透明的袋子中裝有 4 個(gè)黑球、2 個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，從中任意摸出 3 個(gè)球，
下列事件為必然事件的是 A. 至少有 1 個(gè)球是白球 B. 至少有 1 個(gè)球是黑球 C. 至少有 2 個(gè)球是黑球 D. 至少有 2 個(gè)球是白球
6．如圖，某個(gè)函數(shù)的圖像由線段 AB 和 BC 組成，其中點(diǎn) A（0， 4 3 ），B（1， 1 2 ），C（2， 5 3
），則此函
數(shù)的最小值是 A．5 3
B．1
C．1 2
D．0
7．如圖，無(wú)法 ．．保證△ADE 與△ABC 相似的條件是
（第 6 題）
A
D
B C
E
1
2
（第7題）
87
A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D． AD AE AC AB  8．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 是雙曲線 3 y x  （ 0 x ）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) B 是 x 軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)， OAB △ 的面積
將會(huì) A．逐漸減小 B．不變 C．逐漸增大 D．先減小后增大
9.學(xué)校機(jī)房今年和去年共購(gòu)置了 100 臺(tái)計(jì)算機(jī)，已知今年購(gòu)置計(jì)算機(jī)數(shù)量是去年購(gòu)置計(jì)算機(jī)數(shù)量 的 3 倍，則今年購(gòu)置計(jì)算機(jī)的數(shù)量是（ ）． A.25 臺(tái) B.50 臺(tái) C.75 臺(tái) D.100 臺(tái) 10．如圖，C，D 分別是線段 AB，AC 的中點(diǎn)，分別以點(diǎn) C，D 為圓心，BC 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交
于點(diǎn) M，測(cè)量∠AMB 的度數(shù)，結(jié)果為
A．  80 B．  90 C．  100 D．  105
二、填空題：(本大題共 6 小題，每小題 4 分，共 24 分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置)
11．計(jì)算：(-3)0+3-1= ． 12．如圖是正方體的一種展開(kāi)圖，其每個(gè)面上都標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，那么在原正方體中，與
數(shù)字“2”相對(duì)的面上的數(shù)字是 ．
13.甲、乙、丙三人進(jìn)行飛鏢比賽，已知他們每人五次投得的成績(jī)?nèi)鐖D，那么
三人中成績(jī)最穩(wěn)定的是 ．
14．已知m，n為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且 11 m n   ，則m n   . 15．已知△ABC，∠A=30°，∠B=105°，BC=4，則 AB= ．
（第 12 題）
（第 13 題）
(第 8 題)
x
y
O B
A
A B CD
（第 10 題）
88
16．在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點(diǎn)，分別沿斜邊中點(diǎn)與這兩點(diǎn)的連
線剪去兩個(gè)三角形，剩下的部分是如圖所示的四邊形 ABCD，其中 AB=2，BC=4，
CD=3，∠B=∠C=90°，則原三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是 ．
三、解答題：(本大題共 9 小題，共 86 分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)
17．（8 分）化簡(jiǎn)： 3 ( ) 3 x x y xy + - ，并說(shuō)出化簡(jiǎn)過(guò)程中所用到的運(yùn)算律.
18．（8 分）解不等式組
2 1 0 2 3 x x x ，ì + >ï ï í ï < + ï î ，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).
19.（8 分）如圖，矩形 ABCD 中，AC 與 BD 交于點(diǎn) O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為 E，F(xiàn)．[ 求證：BE=CF．
20． （8 分）如圖，在△ABC 中，AB＝BC，∠A＝25°，點(diǎn) D 是邊 AB 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà) 出過(guò)點(diǎn) D 且與 BC 平行的直線 DE，并簡(jiǎn)述直線 DE 與 BC 平行的理由．
21.（8 分）國(guó)務(wù)院辦公廳在 2015 年 3 月 16 日發(fā)布了《中國(guó)足球發(fā)展改革總體方案》，方案實(shí)施后， 為了解足球知識(shí)的普及情況，某校舉行“足球在身邊”的專(zhuān)題調(diào)查活動(dòng)，采取隨機(jī)抽樣的方法 進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個(gè)等級(jí)， 并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未繪出）.
(第 16 題)
D
CB
A
（第 20 題）
（第 19 題）
89
請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題： （1）補(bǔ)齊條形統(tǒng)計(jì)圖，并求被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)； （2）從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對(duì)足球知識(shí)是“基本了解”的概率是多少？
22． （10 分）甲乙兩人勻速?gòu)耐�一地點(diǎn)到 1500 米處的圖書(shū)館看書(shū)，甲出發(fā) 5 分鐘后，乙以一定的 速度沿同一路線行走. 設(shè)甲乙兩人相距s（米），甲行走的時(shí)間為t（分）
， s為t的函數(shù)，其函數(shù)圖像的一部分如圖所示. （1）求甲行走的速度； （2）當(dāng)甲出發(fā)多少分鐘時(shí)，甲、乙兩人相距 360 米？
23.（10 分）如圖，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 為直徑作⊙O 交 BC 于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) D 作⊙O 的切 線 EF，交 AB 和 AC 的延長(zhǎng)線于 E，F(xiàn)． （1）求證：FE⊥AB； （2）當(dāng) AE=6，sin∠CFD=3 5 時(shí)，求 EB 的長(zhǎng)．
24.(12 分)已知一次函數(shù) 1 y kx b   （k≠0）的圖像經(jīng)過(guò)(2,0)，(4,1)兩
人數(shù)
非常 了解
不太 了解
比較 了解
等級(jí)基 本 了解
不太 了解
非常了解 20%比 較了解
基本了解9 0
60
30
（第21題）
（第23題）
（第22題）
s（米）
t （分）0 5 15 35 25 45 55
150
300
450
（第24題）
90
點(diǎn)，二次函數(shù) 2 2 2 4y x ax   （其中 a＞2）．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式及二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含 a 的代數(shù)式表示）； （2）利用函數(shù)圖像解決下列問(wèn)題：
①若
2 5a ，求當(dāng) 1 0 y  且 2 y ≤0 時(shí)，求自變量 x 的取值范圍； ②如果滿(mǎn)足 1 0 y  且 2 y ≤0 時(shí)的自變量 x 的取值范圍內(nèi)恰有一個(gè)整數(shù)，直接寫(xiě)出 a 的取值
范圍．
25．（14 分）在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊 BC，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°. (1) 將△ADF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到△ABG（如圖①）. 求證：△AEG≌△AEF；
(2) 若直線 EF 與 AB，AD 的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) M，N（如圖②）. 求證：EF2=ME2+NF2； (3) 將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），試探究線段 EF，BE， DF 之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.
（第25題）
91
參考答案 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的. 1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．B ； 5．B ； 6．C ； 7．B ； 8．A ； 9．C ； 10．B ． 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 4 分，共 24 分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
11．
3 11 ； 12．4； 13．乙； 14．7 ； 15．4 2 ； 16．10 或4 5． 三、解答題：本大題共 9 小題，共 86 分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. 17．解：原式= 2 3 3 3 x xy xy   = 2 3x 所用到的運(yùn)算律有：分配律、加法結(jié)合律. 18．解：由①得 1 2 x ， 由②得 3 x ，
則不等式組的解集為
1 3 2 x   . 此不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：
19.證明：∵四邊形 ABCD 為矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴ BO=CO． ∵BE⊥AC 于 E，CF⊥BD 于 F， ∴∠BEO=∠CFO=90°． 又∵∠BOE=∠COF， ∴△BOE≌△COF． ∴BE=CF．
20．解一：如圖，用量角器和直尺畫(huà)∠BDE＝130°,則 BC∥DE.理由如下: ∵ AB＝BC， ∴ ∠C＝∠A＝25°.
92
∴ ∠CBD＝∠C＋∠A＝50°. ∵ ∠BDE＝130°， ∴ ∠CBD＋∠BDE＝180°. ∴ BC∥DE. 解二：如圖，用圓規(guī)和直尺作∠BDE＝∠ABC,則 BC∥DE.理由如下: ∵∠BDE＝∠ABC ∴ BC∥DE. 解三：如圖，用圓規(guī)和直尺作△FDE≌△ABC,則 BC∥DE. 理由如下: ∵△FDE≌△ABC, ∴∠FDE＝∠ABC 又 ∵∠FDE＝∠BDM ∴∠BDM＝∠ABC ∴BC∥DE. 21. 解：（1）補(bǔ)齊條形統(tǒng)計(jì)圖, 300 （2）∵被調(diào)查學(xué)生中“基本了解”的人數(shù)為： 300-（60+90+30）=120（人），
占被調(diào)查學(xué)生人數(shù)的百分比：
%4 0
300 120  ， ∴抽中的學(xué)生對(duì)足球知識(shí)是“基本了解” 的概率是：P=40%（或= 5 2 或 0.4）. 22．解：（1）甲行走的速度為：150 5 30   （米/分）； （2）由圖可知，當(dāng) t＝35 時(shí)，乙行走的路程為： 30×（35－5）＋150＋450＝1500 米， 則乙行走的速度為：1500÷（35－5）＝50（米/分） ；
人數(shù)
非常 了解
不太 了解
比較 了解
等級(jí)基 本 了解
90
60
30
120
M
93
設(shè)甲出發(fā) t 小時(shí)與乙相遇，由30 50( 5) t t = - ，
解得 12.5. t= 當(dāng) 50 t  時(shí)，甲行進(jìn)了30 50 1500   米. 結(jié)合函數(shù)圖像可知，當(dāng) 12.5 t  和 50 t  時(shí)， 0 s ；當(dāng) 35 t  時(shí)， 450 s ， ①當(dāng)12.5 35 t  時(shí)，由待定系數(shù)法可求： 20 250 s t   ， 令 360 s ，即20 250 360 t  ，解得 30.5 t  ； ②當(dāng)35< 50 t  時(shí)，由待定系數(shù)法可求： 30 1500 s t   ， 令 360 s ，即 30 1500 360 t   ，解得 38 t  . ∴甲行走 30.5 分鐘或 38 分鐘時(shí)，甲、乙兩人相距 360 米.
23．（1）證明：連接 OD.（如圖） ∵ OC=OD， ∴ ∠OCD=∠ODC. ∵ AB=AC， ∴∠ACB=∠B. ∴ ∠ODC=∠B. ∴ OD∥AB. ∴ ∠ODF=∠AEF. ∵ EF 與⊙O 相切. ∴ OD⊥EF，∴ ∠ODF=90°. ∴∠AEF=∠ODF=90°. ∴ EF⊥AB. （2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF. 在 Rt△AEF 中，sin∠CFD= AE AF
= 3 5
，AE=6.
∴ AF=10. 在 Rt△ODF 中，sin∠CFD= 3 10 5 OD r OF r   
94
解得 r= 15 4
. ∴ AB=AC=2r= 15 2
.
∴ EB=AB－AE= 15 2
－6= 3 2
.
24．解：（1）∵ 一次函數(shù) 1 y kx b   （k≠0）的圖像經(jīng)過(guò)(2,0)，(4,1)兩點(diǎn)，
∴
2 0, 4 1. k b k b      
解得
1, 2 1.
k b        ∴ 1 2 1 1   xy ． ∵ 2 22 2 4 )(42 a axa xxy   ，
∴ 二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2 ( ,4 ) a a  ．
（2）①當(dāng)
2 5a 時(shí)， 4 522   x xy ． 如圖，因?yàn)?1 0 y  且 2 y ≤0，由圖像得 2＜x≤4． ②13 6 ≤a＜ 5 2 ． 25.（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可知：AG=AF，∠GAF=90°. ∵∠EAF=45°, ∴∠GAE=∠EAF=45°. 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF.
（2）證明：在正方形 ABCD 中，有 AD∥BC，∠BAD=90°, ∴∠N=∠CEF=45°. ∴∠AMN=∠N=45°.
G
95
∴△AMN 是等腰直角三角形，AM=AN. 將△ANF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°， 得到△AMG. 連接 GE.
∴GM=FN，∠AMG=∠N=45°. ∴∠GME=∠AMG+∠AMN=90°. ∴ 2 2 2 GE ME GM   . 又同（1）可證△AEG≌△AEF.
∴EG=EF. ∴EF2=ME2+NF2. （注：也可把△ADF 旋轉(zhuǎn)到△ABG 進(jìn)行證明）
（3）如圖，延長(zhǎng) AB，AD，分別交直線 EF 于點(diǎn) M，N， 同（2）可得△AMN 是等腰直角三角形，∠AMN=∠N=45°，AM=AN.
96
將△ANF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到△AMG.
連接 GE. 同（2）可證 EF2=ME2+NF2. ∵四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠MBE=∠NDF=90°. ∴△BME 和△DNF 是等腰直角三角形.
∴ME2=2BE2，NF2=2DF2. ∴EF2=2BE2+2DF2 .

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